Адрес первоисточника:http://relpress.website.ru/currier/5/wavelet/wavelet.htm

Вейвлетvпреобразование
Теоретические сведения и пример использования

Введение

В буквальном переводе с английского языка слово wavelet означает ?маленькая волна¦, такое название объясняется формой функций, используемых в вейвлет-анализе. Термин ?вейвлет-анализ¦ по смыслу аналогичен термину ?Фурье-анализ¦. В обоих случаях речь идет о представлении исследуемого процесса в виде линейной комбинации различных функций, именуемых базисом соответствующего преобразования. Для вейвлет - анализа характерно понятие масштаб (scale), даже графическое представление в виде диаграммы специального вида именуется скейлограмма или скалограмма (scalogramm). Под масштабом следует понимать колебательные процессы различной периодичности. Будем говорить, что низкочастотные колебания имеют более крупный масштаб, а высокочастотные - более мелкий. Вейвлет - анализ называют ?микроскопом¦, поскольку он позволяет исследовать каждый масштаб с необходимой и достаточной для него разрешающей способностью. Как образно сказано в [2], ?можно увидеть и лес, и деревья¦.

1. Сопоставление вейвлет - преобразования и преобразования Фурье

Для преобразования Фурье (FT) базисом являются функции wn(t), полученные из функции w(t) = e i t = cos t + i sin t, путем масштабного преобразования wn(t) = w(nt). w(t) имеет период 2p. FT широко используется для спектрального анализа сигналов, однако имеет ряд недостатков: а) исходный сигнал заменяется на периодический, с периодом равным длительности исследуемого образца, б) FT плохо работает при изменении параметров процесса со временем (нестационарности), поскольку дает усредненные коэффициенты для всего исследуемого образца (см. рис.1-4.).

Рис.1 Исходные данные, представляющие сумму четырех синусоид одинаковой амплитуды и разной частоты. (данный рисунок взят из [2])

Рис.2 Преобразование Фурье для массива, представленного на рис. 1. (данный рисунок взят из [2])

Рис.3 Исходные данные, представляющие последовательность четырех синусоид одинаковой амплитуды и разной частоты. (данный рисунок взят из [2])

Рис.4 Преобразование Фурье для массива, представленного на рис. 3. (данный рисунок взят из [2])

Как видно из рис.4, FT не дает представления о динамике изменения спектрального состава сигнала, Фурье-образ на рис.4 - искаженный Фурье-образ рис.2, т.е. FT усредняет спектральные характеристики сигнала.

Вейвлет-преобразование (WT) в большой степени позволяет преодолеть перечисленные недостатки FT, поскольку базисные функции WT обладают свойством временной локализации, т.е. обладают конечной энергией (нормой): .

Как и для FT, для построения базиса WT используется одна функция, именуемая материнским вейвлетом (mother wavelet) - j(t). На рис.5 представлены примеры часто используемых вейвлетов: (а)WAVE, (б)MHAT - ?мексиканская шляпа¦, (в)Morlet - Морле, (г)Paul - Пауля, (д)LMB, (е)Daubechies - Добечи. Вейвлеты (в) и (г) являются комплексными.

Рис. 5 Временное представление некоторых вейвлетов и соответствующие им Фурье-образы. (рисунок взят из [1])

2. Построение базиса вейвлет-преобразования

Вейвлет-преобразование сигнала f(t) заключается в разложении в виде , где y(t) - называют отцовским вейвлетом, являющийся аналогом константы, а {jjk(t)} - базис WT, т.е. функции, полученные из материнского вейвлета j(t) путем двух основных операций: сжатие (scaling) и сдвиг (shifting), при этом производится временное сжатие в раз и сдвиг полученной функции на : , например

Рис. 6 Преобразования вейвлета (рисунок взят из [4]) :

Вычислительная процедура дискретного WT (DWT) состоит в вычислении временной свертки сигнала с jjk(t). Поскольку длина вейвлета для каждого последующего масштаба уменьшается в 2 раза, для DWT используется вычислительная процедура, аналогичная быстрому преобразованию Фурье (БПФ). Для масштаба j=1 определяется 2 коэффициента: c10 и c11 , для j=2 - 4 коэффициента и т.д., поэтому вычислительный алгоритм DWT называют пирамидальным алгоритмом. Примеры DWT и его использования для фильтрации шумов приведены в [3,4,...]. Для удаления шума производят DWT, обрабатывают полученный образ и производят обратное вейвлет-преобразование (IDWT). Алгоритм IDWT аналогичен алгоритму DWT. Необходимым условием для возможности осуществить восстановление сигнала по его DWT путем обратного преобразования является ортогональность базиса. К ортогональным относится базис на основе вейвлета Добечи.

3. Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT)

, где s - масштаб.

Для анализа структуры сигналов удобно пользоваться отображением непрерывного WT (CWT - [2] ) на скейлограмме (scalogramm). Особенно выразительны скейлограммы для базисов, основанных на комплексных вейвлетах, в частности - на вейвлете Морле. При этом на скейлограмме отображается амплитуда преобразования - sqrt(Re[CWT(t,s)]^2+Im[Re(CWT(t,s)]^2). Поскольку вейвлет Морле - произведение действительной и мнимой экспоненты, кроме вейвлетов целочисленных масштабов, можно определить дробные масштабы, изменяя b и w:

На рис.6-9 преставленны скейлограммы реальных процессов - изменение цены закрытия акций Лукойл за различные периоды. На рис. 7 и 9 видны последствия финансового кризиса 28.10.97, для анализа больший интерес предствляют рис. 6 и 8. Масштаб на скейлограммах - выраженая в сутках длительность вейвлета.

Рис. 6

Рис. 7

Рис.8

Рис. 9


Список литературы и ссылки в Internet

  1. Н.М. Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения.// Успехи физических наук, том 166, ¦ 11 - 1996.
  2. Robi Polikar. The Engineer's Ultimate Guide to Wavelet Analysis. The Wavelet Tutorial.
    [http://www.public.iastate.edu/~rpolikar/WAVELETS/WTtutorial.html]
  3. Amara Graps. An Introduction to Wavelets. [http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html]
  4. Vidakovic, Brani, and Muller, Peter, "Wavelets for Kids," unpublished, "wav4kids[A-B].ps.Z". [ftp://ftp.isds.duke.edu/pub/Users/brani/papers/]
  5. G.P. Nason, B.W. Silwerman. The Discrete Wavelet Transform in S. Journal of Computational and Graphical Statistics, 1994.